回答
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constantly/always on the lookout
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keep an eye out/open
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keep an ear to the ground
「アンテナをはる」ってすごく面白い表現ですよね。
keep your antenna up とそのまま英語にしても意味は通じると思いますが、より頻繁に使われている英語の表現を考えてみたところ、以外とたくさんありました:
・constantly/always on the lookout/watch
lookout や watch は「見張り」とかの意味で「常に周りを見張っている」のような意味から「アンテナをはる」に似ているかと思います。always on the lookout for new information で「常に新しい情報を得られるようにアンテナをはっている」になります。
・keep an eye out/open (for) 〜
こちらはわかりやすいですね。新しい情報のために「目」で常に見張っておく、開いておく、な感じですね。keep an eye out for new information(新しい情報のためにアンテナをはっておく)
・keep an ear to the ground
こちらは決まった表現で、「注意して見る」とか「周囲の(世の中の)動きに注意する」の意味です。昔の人が敵がくる音を地面に耳をつけて確認したことからきているそうです。決まった表現ではありますが、日常会話ではあまり使われないかもしれません。知っていたら「おお〜」って感じの表現ですね。
・keep myself open to 〜
直訳で「自分を〜にオープンにしておく」という意味ですね。ここに new information をいれれば「新しい情報を得られるようにしておくこと」になります。「アンテナをはる」に近いですね。
おすすめは最初の2つの表現ですが、お好きなものを使うと良いと思います!
回答
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keep one's eyes open
これはいわゆるイディオムですが、意味的には「(常に)注意深くいる・意識する」です。
例えば「(仕事の)募集情報を見逃さないようにする」と言いたい場合は
I'll keep my eyes open for any job openings.
このように、言葉通り「目を開けて」情報や警告などを逃さないようにする、というニュアンスがあります。
We should all keep our eyes open for new technological innovations.
私たちは技術の革新に対して意識し続けるべきだ。
参考までに(^^)