回答
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constantly/always on the lookout
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keep an eye out/open
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keep an ear to the ground
「アンテナをはる」ってすごく面白い表現ですよね。
keep your antenna up とそのまま英語にしても意味は通じると思いますが、より頻繁に使われている英語の表現を考えてみたところ、以外とたくさんありました:
1. constantly/always on the lookout: こちらの表現は、「常に周囲を見回している」という意味で、「アンテナをはる」に近いニュアンスを持っています。例えば、"She is always on the lookout for new trends."は「彼女は新しいトレンドに常にアンテナをはっている」と言えます。
2. keep an eye out/open for 〜: こちらも「~のために目を光らせる」という意味で、「アンテナをはる」に相当します。例えば、"Keep an eye out for deals."は「お得な情報にアンテナをはっておく」となります。
3. keep an ear to the ground: これは、「周囲の動きに注意深く耳を傾ける」という表現です。使い方としては、"He keeps his ear to the ground to catch the latest gossip."(彼は最新のうわさを聞きつけるためにアンテナをはっている)のようになります。
4. keep myself open to 〜: これは「自分を〜に開放する」や「自分自身を〜に感じやすくする」といった意味で、新しい情報などに対する受け入れ態勢を保つことを指します。例文としては、"I always keep myself open to new ideas."(私は常に新しいアイデアに対してアンテナをはっておく)となります。
おすすめは最初の2つの表現ですが、お好きなものを使うと良いと思います!
回答
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keep one's eyes open
これはいわゆるイディオムですが、意味的には「(常に)注意深くいる・意識する」です。
例えば「(仕事の)募集情報を見逃さないようにする」と言いたい場合は
I'll keep my eyes open for any job openings.
このように、言葉通り「目を開けて」情報や警告などを逃さないようにする、というニュアンスがあります。
We should all keep our eyes open for new technological innovations.
私たちは技術の革新に対して意識し続けるべきだ。
参考までに(^^)