どんな映画でも好きです。って英語でなんて言うの？

質問者様が挙げた3つの言い方、どちらでも意味は伝わるので問題ないと思います。

僕が提案したのは「I like any kind of movie」ですが、まぁ、唯一異なる点は「Kind」を単数にしてあることですね。これが文法的に正しいです。

「I like all kinds of movies」も正しいですが。

「どんな映画でも好きです。」と言う場合、
1) I like any kind of movie.
2) I like all kinds of movies.
3) I like all movies.
と言えます。

通常、any を使うなら単数、all を使うなら複数と覚えておくと良いですよ。
any kind of 単数形（kind には s をつけない）
all kinds of 複数形（kind に s をつける）
all 複数形

ご参考になれば幸いです！