指定のって英語でなんて言うの？

上記の例は両方「指定する」の意訳で使えますが他の意味でも使えます。

「designate」は示す、任命する。「specify」は詳しく記すと言う意訳で使えます。

例
・Could you please use the designated paper to make copies?（指定された紙でコピーを作って頂けますか？）
・I designate you to be~（あなたを○○に任命します）
・Could your explanation be a little more specific?（もう少し詳しく説明してもらえますか？）

ご質問ありがとうございます。

「指定の」は英語で「designated」と言います。

「指定のサイズの紙を使ってください」を英語したいなら、「Please make sure to use the designated paper size.」になります。

ご参考になれば幸いです。