上記の例は両方「指定する」の意訳で使えますが他の意味でも使えます。
「designate」は示す、任命する。「specify」は詳しく記すと言う意訳で使えます。
例
・Could you please use the designated paper to make copies?（指定された紙でコピーを作って頂けますか？）
・I designate you to be~（あなたを○○に任命します）
・Could your explanation be a little more specific?（もう少し詳しく説明してもらえますか？）
ご質問ありがとうございます。
「指定の」は英語で「designated」と言います。
「指定のサイズの紙を[使って](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/59807/)ください」を英語したいなら、「Please make sure to use the designated paper size.」になります。
ご参考になれば幸いです。
アメリカ合衆国 
