all right と alright の意味は同じです。
all right がもともとの正しい形なのに対し、alright はカジュアルで all right を短縮した形となります。
alright を使っても間違いではありませんが、ビジネスやフォーマルな場合は all right を使った方が良いでしょう。
all right には、
１）ok や いいよ という意味 - A: Do you want to hang out tonight? B: All right.
２）大丈夫 という意味 - A: Are you ok? B: I'm all right.
３）謝罪された時の返答 - That's all right.
４）人に対する「いい奴」という意味 - He's all right.
のような意味があります。
ご参考になれば幸いです！
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