生きがい は一般には、a (the) reason for livingですので
『[子供](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/44764/)の[成長](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/126302/)が生きがいです」
The growth of my children is the reason for living.
その他、[仕事](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/37171/)が生きがいです 等という時は
I thrive on work.
などといいます。
raison d'etreはフランス語から入ってきた語で
よく「存在[理由](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/51867/)」と訳されますが、日常会話では
「生きがい」という意味を表します。
「それがないと生きている理由がない」という
ニュアンスです。
発音はカタカナで書くとあまり良くないですが、
「レイゾォン デトラ」と読みます。
raisonが英語のreason,d'はof,etreはbeに当たります。
英語で言えば、reason of being,reason to beです。
reason = 理由
make life worth livingは「～があるから人生が[意義](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/59590/)あるものに
なっている」の意味を表し、生きがいという意味になります。
子供が私の生きがいだと言う場合、
My child is my raison d'etre.
My child makes life worth living.
「子供が私の生きがいです」
と言えます。
参考になれば幸いです。
「生き甲斐」と言うと、"Tha's my life."＝「それが生き甲斐なんだよ。」という表現もありますが、ここでは、
「子どもが成長し続けるのを見るのが、楽しい」と表現しました。
"thrive on 〜"＝「〜を生き甲斐にしている」という表現もありますが、この場合は、他の人がなかなか好きな入れないことを、やっているという言う時に使います。
ここまでで、お役に立てば幸いです。
感謝
日本 
