この場合の「書けるようになる」は learn to write が良いでしょう。
learn は「学ぶ」という意味ですが、練習して習う、覚えると言う意味がありますから、筆記体を練習して覚えたというニュアンスになります。
I learned to write cursively when I was grade 3.
「小学3年の時に筆記体を書けるようになった。」
I thought cursive writing looked cool, so I started practicing it until I learned to write it.
「筆記体がカッコいいと思い、書けるようになるまで練習をした。」
ご参考まで!
I thought cursive looked cool, so I practiced until I could write in cursive.
こんにちは!
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
I thought cursive looked cool, so I practiced until I could write in cursive.
とすると、「[筆記体](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/15638/)がかっこいいと思ったので、書けるようになるまで練習しました。」となります。
役に立ちそうな単語とフレーズ
cursive 筆記体
write in cursive 筆記体で書く
practice until I can できるようになるまで練習する
参考になれば幸いです。