私のチームは6月に開かれる大会で１位を目指していますって英語でなんて言うの？

最初の例文が"私のチームは6月に開かれる大会で１位を目指しています"の訳となりますね。こちらの例では「aim」で目指す、「held」で開催される、開かれると表しています。 次の例文は"この六月の大会で勝つために私のチームは頑張ってます"となります。こちらでは「working」で動く、頑張ると表しています。

基本の形は "My team is aiming for first place in the tournament that will be held in June." です。"aim for ～" は「～を目指す」という定番表現で、「１位を目指す」は "aim for first place" と言います。"that will be held in June" が「6月に開かれる大会」という意味になります。 "that will be held" は少しフォーマルですが、スピーチや紹介でも自然です。もう少し会話っぽくするなら "taking place in June"（6月に行われる） を使うと自然です： "My team is going for first place in the competition taking place in June."