７月１０日は参議院選挙です。次女は初めての投票です。って英語でなんて言うの？

７月１０日は参議院選挙です。次女は初めての投票です は
The election for the House of Councilors is held on July 10th. My second daughter will cast a vote for the first time in it.
としました。
(長いので２つにしましたが、and でつなげてもOKです）

まず、７月１０日は~
これは、確定の未来で、現在形でOKですので ~ is held on July 10th.
（ですがwill be heldとしても間違いではありません）

参議院 は
the House of Councilors といいます。
（Councilor は 評議員 という意味です）

（ちなみに衆議院は the House of Representitaves です。
representitave は代表者。国民の代表ということですね）

次女は初めての投票です。
これは 確定とも言えませんので、普通にwill あるいはbe going to~でいいでしょう。

投票です。は 投票します と動詞で使い、
My second daughter will cast a vote
（投票するは cast a vote, あるいは、voteは動詞もありますから、この一語でもOKです）

初めて という部分を強く言いたいようですので、
for the first time を次に持ってきて

最後に in it.(it は参議院選のことです）
を持ってきました。（その選挙でという意味です）

ご参考になりましたら、幸いです。

このフレーズでは「7月10日に参議院選挙があります。それは次女にとって初めての投票です」という意味をを表しています。

最初の"The House of Councilors election is coming up on July 10th."では、「"coming up"は「もうすぐ～がある」を意味する表現で、特定の日付を指してそれが近づいていることを示します。

次に"It's my second daughter's first time voting."とありますが、"It's ~'s first time ~ing"は「〜が初めて～する」という意味で使われます。