回答
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We thank you for your continued support.
直訳すると「継続した支援に対し感謝します」という意味ですが、
英語ではこういう言い方が自然です。
お願いします、よろしくお願いします、という表現は日本的で英語にはありません。
continued で[継続](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/34797/)した、という意味です。
continued support で変わらぬ[支持](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/87249/)、[支援](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/55819/)となりよく使われますので、ぜひ覚えておいてください。
回答
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I appreciate your continuing support.
既に、Yumiさんの回答にあるように、
Thank you for~ としても、もちろんOKですが、
もっと丁寧な感じを出したかったら、
I appreciate ~ とします。
（appreciate は「[感謝する](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/33271/)」ですので「あなたの継続的なサポートに感謝します」というのが直訳ですね。）
なお、continue（続く・[続ける](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/40747/)）は自動詞・他動詞、両方ありますので、
continuing, continued 、文法上はどちらでもOKですが、
continuing の方が「[今後も](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/49854/)」という感じが出ますし(現在完了進行形と現在完了のようなものですね）
また実際、その方がよく耳にします。
なお、appreciate は、目的語に人は持ってこれませんので、注意が必要ですね。
× I appreciate you.
ご参考まで。
回答
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I appreciate your continued support.
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Thank you for your continued support.
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：
I appreciate your continued support.
Thank you for your continued support.
上記はいずれも「継続的な支援に感謝いたします」という意味の英語表現です。
ぜひ参考にしてください。
日本 
アメリカ合衆国 
