「〜せずに」は「without ~ing」です。
「悪化する」は「get worse」です。
合わせて、「悪化せずに」は「without getting worse」といいます。
If you take Chinese herbal medicine when you first get a cold, you can get over it without it getting worse.
風邪の引き始めに漢方薬を飲むと、悪化ぜすにそのまま直ります。
「Get worse」の変わりに、「become worse」でも大丈夫です。
「Worsening」と言う動詞でも同じ意味です。
If you take Chinese herbal medicine when you first get a cold, you can get over it without it becoming worse.
If you take Chinese herbal medicine when you first get a cold, you can get over it without it worsening.