新総理はたたき上げの政治家だって英語でなんて言うの？

まず、「新総理」は「new prime minister」といいます。

「たたき上げ」ですが、英語で主に二つの言い方があります。
一つ目は「self-made」です。
「Self」は「自分」で、「made」は「作った」という意味です。
形容詞ですので、様々な名刺と一緒に使うことができます。
以下の文を参考にしてください。

The new prime minister is a self-made man.
新総理はたたき上げの男だ。
（新総理が女性だったら、もちろん「man」の代わりに「woman」が使えます。）

The new prime minister is a self-made politician.
新総理はたたき上げの政治家だ。

もう一つの言い方は「work one's way up to the top」です。
「苦労して、努力して、（社会の）上までたどりついた」という意味があります。

The new prime minster worked his way up to the top.
新総理はたたき上げの人だ。

これの反対と言っていいかはわからないですが、「from a political family」という表現があります。
家族で他に政治家がたくさんいて、そのコネがあるから政治家になれた場合に使います。

Shinjiro Koizumi is from a political family.
小泉進次郎は政治家がいる家族の息子です。