市民課って英語でなんて言うの？

「市民課」はその市の市役所によっても言い方が違ったりしますが、
Municipal Section
Department of Municipal Services
などと言えると思います。

例：
If you would like more information, please ask at the Municipal Section.
「詳しいことは市民課でお尋ねください。」

ご参考まで！