「私たちはよりいろんな人とよりいろんな会話ができるようになる。」は英語で「We will be able to have more conversations with more people.」という表現が良いと思います。
「よりいろんな~」だけには英語で「More ~」という表現が良いで、「More diverse」というフレーズもよろしいです。(i.e. More diverse conversations with more diverse people)
I want to be able to talk to more people from more backgrounds.
I want to be able to converse with more people.
ご質問ありがとうございます。
疑問文を直訳すると、I want to have various conversations with various kinds of peopleになります。この言い方は一番簡単な英文だと思います。他の言い方は上記の回答で記載しています。
more backgroundsは「色々な人」の意味です。
2番目の回答ではvariousとdifferentを使っていませんが、スッキリとした英文で同じような意味が伝われるので提案したいと思います。
ご参考いただければ幸いです。