If you say you don't need a shopping bag when you go the register, you can get points added to your store membership card.
「レジの際に買い物袋不要と申し出るとその店舗でのポイントが付きます。」は英語に訳すとこのようになります。
If you say you don't need a shopping bag when you go the register, you can get points added to your store card.
「Card」は上記の日本語に書いてありませんでしたけど、入れたら自然になります。「カード」という事です。店舗でのポイントが付きるとだいたい店舗の会員カードですね。
レジの際 = when you go to the register
買い物袋不要と申し出る: to say you don't need a shopping bag
店舗でのポイントが付きます: to have points added to your store membership (card)
買い物の料金支払いの時に: when paying for your shopping
「薄手のビニール袋はいりません 」と言いたいんでしたら「I don't need a plastic shopping bag」に相当します。「薄手」は英語で「thin」か「thinly made」ですが、ビニール袋の薄さは当たり前なので「thin」を言わない方が自然です。「I don't need a plastic shopping bag」で良いです。日本で買い物する際にもらう袋はだいたいビニール袋なんですが、たまに海外で紙袋やビニール袋の選択肢があります。紙袋でしたら「I don't need a paper bag.」「I don't need a bag」も言えば大丈夫です。
ポイント：point (単数形）、points (複数形）
If you decline a shopping bag at checkout, you will earn points for that store.
If you decline a shopping bag at checkout, you will earn points for that store. 「レジの際に買い物袋不要と申し出るとその店舗でのポイントが付きます。」という意味になります。
●「レジの際に」は「at checkout」で表現します。
●「買い物袋不要と申し出る」は「decline a shopping bag」と訳します。「decline」は「拒否する」という意味です。
●「ポイントが付きます」は「you will earn points」となります。「earn points」は「ポイントを獲得する」の意味です。
●「その店舗で」は「for that store」で表現します。
具体的に違う表現をするなら、 If you say no to a shopping bag at the register, you will receive store points. 「レジで買い物袋不要と言うと、店舗のポイントを獲得できます。」というようにも表現できます。
decline「拒否する、断る」
shopping bag「買い物袋」
checkout「レジの際」
earn points「ポイントを獲得する」
アメリカ合衆国 
