最初の言い方は、Please use the internet
は、インターネットを使ってくださいと言う意味として使われていました。
最初の言い方では、use the internet は、インターネットを使ってと言う意味として使われています。
二つ目の言い方は、Please rely on the internet は、インターネットを使ってくださいと言う意味として使われていました。
二つ目の言い方では、Please は、くださいと言う意味として使われています。runは、使うあるいは頼ると言う意味として使われていました。
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・Using the internet
直訳に近い「インターネットを使って」です。
「インターネットを使って調べる」「インターネットを使って勉強する」みたいに、“手段”として言いたいときに強いです。
・On the internet
「インターネット上で」というニュアンスです。
情報がどこにあるかを言うときに自然です。
「ネットで見た」「ネットに書いてある」は on the internet が便利です。
アメリカ合衆国 
