My doctor was fully booked so I couldn’t make an appointment.
My doctor was not available all morning.
1)‘私の先生は予約で埋まっていて取れなかった‘
fully いっぱい、丸々、完全に
book 予約する→すでに予約で埋まっていた→受動態になり was booked 予約で埋まった
make an appointment 予約をする、入れる
2)’私の先生は午前中ずっと空いていなかった‘
available 〜がある、空きがあるというような意味合いで使われます
例) Do you have a room available for tonight? 今晩部屋に空きはありますか?