ラジオを聞くのに夢中で、乗り過ごすところだった。って英語でなんて言うの？

1つには、このように言うことができるかと思います(^_^)

I was so into the radio show that I almost missed my station.
「そのラジオ番組にすごく入り込んでしまっていたので/聞き入ってしまっていたので、駅を乗り過ごしかけた」

be into～は「～にはまり込む、夢中になる」の意味です。
so ～ that ・・・「とても～なので、・・・だ」の意味です。
almost missは「あやうく逃しかける、もうすぐでミスしかける」の意味です。
例）
almost die「死にかける」
my stationは「私の降りる駅」の意味で使えます。仮に自分の最寄り駅でなくても、その時に1回きりであったとしても、その時に自分が降りる駅という意味でmy stationという表現は使えます。

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)

「ラジオを聞くのに夢中で、乗り過ごすところだった」は、"I was so absorbed in listening to the radio that I almost missed my stop."と表現できます。

"absorbed in"は「〜に夢中で」という意味で、興味や注意が完全に向けられた状態を表します。"almost"は「ほとんど」という意味です。

例えば、

"I got so caught up in the radio show that I nearly forgot to get off."
ラジオ番組に夢中になって、降りるのを忘れそうになりました。