I wasn't scared of animals until I became an adult.
ーI began to fear animals once I became an adult.
「大人になって動物が怖くなった」
to begin to fear で「恐れ始める」
once I became an adult で「私が大人になった時点で」＝「大人になってから」を表現できます。
ーI wasn't scared of animals until I became an adult.
「大人になるまで動物が怖くなかった」
このように逆の言い方もできます。
be scared of animals で「動物が怖い」
ご参考まで！
I became scared of animals after I became an adult.
I've been scared of animals since I turned 20 years old.
おっしゃられている内容は、以下のようにも表現できると思いました(*^_^*)
①I became scared of animals after I became an adult.
「大人になった後で動物が怖くなった」
②I've been scared of animals since I turned 20 years old.
「20歳になって以来、動物がずっと怖いです」
以下に、ちょっと確信がないのですが、私が理解している範囲内で文法解説します（間違っている可能性はあります）。
afterを使う文では、主節には通常 現在完了を使いません。
なので、①の文では、becameという過去形を使いました。
そして、
①の文で、sinceではなくafterの方が自然な理由は、「大人になる」というのはどの時点で大人になるのか その区切り目がハッキリしないからです。このように区切り目がハッキリしない事柄に対しては、afterを使った方が自然だと、（少なくとも個人的には）感じます。
なので、①の場合はafterが使われ、そして、その結果、過去形が使われています。
また、「大人になってから」のように、区切り目がハッキリしない事柄ではなく、
②のように、「20歳になってから」のように区切り目がハッキリする事柄に言い換えると、
sinceが使えるようになります（この場合でもafterも使えますが、sinceも使えます）。
sinceを使うと、主節で現在完了形を使うのが自然となります。
なので、②の文では、現在完了形を使っています。
一応私なりの解釈です。
以上です。
少しでも参考になれば幸いです(*^_^*)
★★大阪カフェレッスン英会話講師KOGACHI
カナダ 
日本 
