The cat has opened the screen door and went out to the balcony. He/she is playing with an insect that flew into the balcony.
可愛らしい光景ですね。
さてちょっと長めの文章は区切って訳しましょう。
「猫が網戸を開けて」
→"the cat has opened the screen door"
「ベランダに行って」
→"and went out to the balcony"
「ベランダに飛んで来た虫と」
→"with an insect that flew into the balcony"
「遊んでいる」
→"he/she is playing"
英語の文がまとめ辛い場合、元は一つの文でも二つに分けるのも時には重要です。
My cat opened the screen in the living room and went out to the veranda where he's chasing a bug around.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーMy cat opened the screen in the living room and went out to the veranda where he's chasing a bug around.
「うちの猫がリビングの網戸を開けてベランダに出て行って、虫を追いかけ回している」
to chase a bug around で「虫を追いかけ回す」
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
