1. I will do my best to become more attractive to women.
2. I will do my best to become more manly.
1. I will do my best to become more attractive to women.
「男を磨く=女性に対してより魅力的になる」という意味であれば、
"be more attractive to women"という意味になります。
2. I will do my best to become more manly.
「男を磨く=より男らしくなる」という意味であれば、
"become more manly"という意味になります。
I will do my best to be more appealing to womenは、「女性に魅力的であるために全力を尽くす」といった意味です。
appealingは、「(人を)惹きつける」「魅力がある」などの意味をするappealという名詞の形容詞の形です。He has an appealing looks 「彼は魅力的な外見をしている」のように使うと、訳すときは、「魅力的」「好ましい」などの意味になります。
ちなみに、appealには、上の意味のほかに、という、まったく違う意味もあります。
do one's bestは直訳すると「自分の一番(ベスト)をやる」といった意味になりますが、日本語の「頑張る」「全力を尽くす」などの表現に一番近い表現です。