「私の車は市役所の近くで故障した」って英語でなんて言うの？

故障するは、break downと表現できます。

エンジンがかからないときには、My car won't start.などと言うこともできます。

エンジンの故障＝engine trouble

なにかを完全に使ってからもう動かなくなったら、to give out on someone を使えます。普通に、足とか背中について話につかわれます。

いきなりだったら、「just」と言え、やっとという感じがしたら、「finally」と言えます。

My leg just gave out on me.
My leg finally went out on me.