この場合、私ならNeither did she は使わず次のように言います。
ーShe didn't show up at work today and she didn't answer her phone when work called either.
「彼女は今日仕事に来なかったし、職場からの電話にも出なかった」
she didn't answer her phone when work called either. のように either を使って言うのが自然です。
Neither did I. などは、会話相手の否定文を受けるのに使うのが一般的です。
例：
A: I didn't miss one day of work this year.
「今年1日も仕事を休まなかった」
B: Neither did I.
「私も」
Neither did I (miss a day at work this year)と言うことですが、カッコの部分は言いません。Neither did I だけで答えます。
または
ーI didn't miss a day at work this year either.
のように言うこともできます。
ご参考まで！
カナダ 
