こんにちは。
Do you want to go shopping with me?
私と一緒に買い物行く？
Do you want to come with me?
一緒に来る？
例：
A: Do you want to come with me? I'll buy you some snacks.
一緒に来る？何かお菓子買ってあげるよ。
B: No.
行かない。
ぜひ参考にしてください。
《want 人 to 動詞》の形で、「(人)に ... してほしい」という言い方になります。
ご質問は、お子さんが息子が買い物がしたいと言っていたというケースなので、
「一緒に行こうか？」は「私に一緒に行ってほしい？」という意味になりますね。
そこで、Do you want me to ...の言い方も良いと思います。
ご質問ありがとうございます。
・「Do you wanna go shopping with me?」
「Wanna go shopping with me?」
＝私と一緒に買いに行く？
（例文）Do you wanna go shopping with me? I'm going to the mall.// Sure.
（訳）私と一緒に買いに行く？ショッピングモール行くんだけど。// いいよ。
（例文）Wanna go shopping with me?// I gotta do my homework.
（訳）私と一緒に買いに行く？//宿題やらないと。
便利な単語：
shopping ショッピング
お役に立てれば嬉しいです。
Coco
I can go shopping with you, if you like.
もしよければ、私があなたと一緒に買い物に行けるよ。
疑問文にはなっていませんが、if you like 「君が望むなら」を足すことで、提案をしている形になります。
Would you like me to go shopping with you?
私が一緒に買い物に行った方がいいかな？
Would you like 〜 は Do you want 〜 の丁寧な言い方です。丁寧な言い方と言いつつ、なぜ自分の子供相手に使うのか、なぜ訳が敬語ではないのかと思われるかもしれませんが、英語の場合、敬語か敬語じゃないかというより、こちらの言い方がより話し手が下手に出ているというイメージです。
Do you want me to go shopping with you? は「あなたは私に一緒に買い物に行って欲しい？」というもっと直接的な感じです。
Do you want me to go with you?
一緒に行きましょうか？
Do you want to come with me?
私と一緒に来ますか？
上記のように英語で表現することができます。
shopping（買い物）という表現を使うこともできます。
例：
Do you want me to go shopping with you?
一緒に買い物に行きましょうか？
お役に立てればうれしいです。
アメリカ合衆国 
日本 
