「途中」は「midway」「along the way」ですね。
Shotaさんの書いてくれた説明を読むと、「1日の途中」という意味を理解しましたが、その日本語の文章だけ読んだら、ちょっと分かり難いです。「Partway through, things got busy」というと、英語のネイティブがもしかして「Partway through WHAT?」(何の途中なの?)と聞くかもしれません。
Sorry, but I suddenly got tied up and couldn't get back.
「途中から」は直接言っていませんが、最初は暇だったのに「急に手が離せなくなった」という、
suddenly I got tied up
で伝わります。
tied up は「縛り付けられて」ということから「手が離せない、忙しい」の意味で使います。
「返事が遅れちゃった」は、上の事情で返信できなかった(couldn't get back)という表現です。