途中から忙しくなったって英語でなんて言うの？

「途中」は「midway」「along the way」ですね。
Shotaさんの書いてくれた説明を読むと、「１日の途中」という意味を理解しましたが、その日本語の文章だけ読んだら、ちょっと分かり難いです。「Partway through, things got busy」というと、英語のネイティブがもしかして「Partway through WHAT?」（何の途中なの？）と聞くかもしれません。

★ 訳
「ごめん。忙しくなって返信できなかった」

★ 解説
　めっちゃ簡単に言う方法をあげました。

・got busy「忙しくなった」
　ある段階で、忙しくない状態から忙しい状態へ変化した様子を get の過去形を使って表しています。このように get は形容詞を後ろにおいて「〜の状態になる」という変化を表すことができます。

・couldn't reply「返信できなかった」

　これなら簡単に覚えて言えますよね！

　ご参考になれば幸いです。

「途中から」は直接言っていませんが、最初は暇だったのに「急に手が離せなくなった」という、

　suddenly I got tied up

で伝わります。
tied up は「縛り付けられて」ということから「手が離せない、忙しい」の意味で使います。

「返事が遅れちゃった」は、上の事情で返信できなかった（couldn't get back）という表現です。