Which month, what monthのどちらも可能ですが、「１２ヶ月の中でどの月が好きか」という選択問題なので、"which month..."のほうが自然かと思います。
「好きな月」を一つ挙げてもらいたいときは"the most", "the best" などを文末につけるといいです。
Which month do you like the most? 「どの月が最も好きですか。」
What month of the year do you like the best? 「１年のうち何月が一番好きですか。」
ご質問どうもありがとうございます。
which と what の使い分けは面倒くさいですね。
私もよく分からないときがあります。
｛英訳例｝
What's your favorite month?
何月が一番好きですか。
｛解説｝
which、what の違いを簡単にまとめました。
which
・選択肢が二つ三つ
・of や one が続くとき
what
・選択肢に制限がないとき
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どちらを使っても問題ない場合も多いです。
ご紹介した英文では、which と what を入れ替えて読み比べましたが、what の方が自然だと思います。説明しにくいですが、what の方が思いやりのある言い方だと思います。
LISAさんも読み比べてみてください。
｛例｝
What / which football team do you support?
どのチームを応援しているの。
【出典：BBC World Service】
Who do you think will win the championship?
誰が優勝すると思いますか。
【出典：BBC World Service】
Which of these teams do you think will win the championship?
どのチームが優勝すると思いますか。
【出典：BBC World Service】
Which is your boyfriend?
どれがあなたのボーイフレンドなの。
【出典：BBC World Service】
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参考になれば幸いです。
どうもありがとうございました。
日本 
