勉強しようと思ったけどお腹すいた。でも食べたら眠くなるって英語でなんて言うの？

「眠くなる」は「become sleepy」でも大丈夫ですが、日常会話でアメリカ人は「become」より「get」をよく使います。「I'll become sleepy」はテキスト以外にはあまり出会いません。

「でも」と「けど」は同じ言い方にならないように「however」と「but」が使えますけれども、but の方がカジュアル的で会話でよく使う言葉です。
「however」も一応使えますが、butより少し丁寧な言葉で、ビジネスの場でよく使う場合が多いです。

ご参考になれば幸いです。