映画や動画についているいわゆる「字幕」はsubtitle といいます。captionということもあります。
テレビのテロップは telop ですが、これは「字幕」ではなく、皆さんがテレビでよく見ている、インパクトを与えるためにテレビ画面上に出ている文言のことを指します。
字幕を「つける」は
付け加える というニュアンスでadd
埋め込む のニュアンスで embedが使えます。その場合は、動画の「中に埋め込む」というニュアンスになるので、後半はin this video になります。
「Could you embed Japanese subtitles in this video?」
(この動画に日本語の字幕を埋め込んでいただけますか?)
ご参考になれば幸いです。