I'd like you to use songs and games during the lesson.
Would you be able to use songs and games during the lesson?
英訳①のI'd like you to ...は、「あなたに~してもらいたい」という意味。
相手に依頼や希望を伝える丁寧な表現で、
「レッスンの途中で歌やゲームを使用してほしい」という
日本語にもっとも近い英文です。
「レッスンの途中で歌やゲームを使用していただけますか?」と
疑問文の形で丁寧に依頼したい場合は、
英訳②のようにWould you be able to ...? を使うといいでしょう。