「彼女を送り出してくれてありがとう」は、
Thank you for allowing her to stay with us.
Thank you for letting her to stay with us.
がいいと思います。
「彼女を送り出す」send her よりも
let (allow) her stay with us 「彼女を私たちと滞在させてくれて」の方が自然だと思います。
・No, thank YOU!
・Thanks to you too.
No, thank you と言う時は you を強調して言うことが多いです。
そうすることで「いいえ、結構です」の No thank you と区別できます。
また、Thank you for … で「〜ありがとう」と英語で伝えることができます。
例えば、Thank you for helping なら「手伝ってくれてありがとう」になります。
ここでは letting her stay with us を入れて「こちらこそ、私たちと滞在させてくれてありがとう」となります。