いつの為替レートを適用するのって英語でなんて言うの？

原則的には、会計における発生主義の観点から、実際にタクシーに乗った日のレートを適用します。ただし簡便的に、例えば窓口で円貨を外貨に変換した日のレートを適用している会社が多いのではと推察します。その場合、レシートからレートを逆算することになります。

「適用する」ですがこの場合は use でも自然です。そして、 　Which exchange rate should I use の後に「経費を請求する」の to claim the expense をつけました。 次に、「出張の出発日？それとも実際にタクシーに乗った日？」の部分ですが、尋ねているのは「出張の出発日（のレート）？それとも実際にタクシーに乗った日（のレート）？」ということなので、 　that (=the rate) of the date of departure or (the date of) taxi ride? とすることで、文法的に Which exchange rate と釣り合いがとれます。