I can buy your flight ticket before your visa is approved.
Flight ticket;航空券
Buy your flight ticket; 航空券を買う
ビザが下りる、はgrantedも使われますしapprovedも使われます。
Your visa is successfully approved.
無事にビザがおりました!
とこういう場合、successfullyも一緒によく使われる副詞です。
I'll book your air/flight ticket before you get the visa.
I'm gonna go ahead and make your air/flight ticket reservation before you get your visa.
「飛行機の予約をする」というのは未来形で表現します。 ですので、will または be going to のいずれかです。
will の場合は、今決めた未来(ビザが下りるのが遅くなりそうなので、今やっとくわ!的な感じ)
be going to の場合は、前から決まっていた未来を今宣言をする未来(ビザが下りるのが遅くなるのはわかっているので、前もってやっとくわ!的な感じ)
次に「予約」という英語ですが book / make a reservation / make an appointment の3通りあります。
bookは最近日本語でも「ブッキングする」という言葉がありますように、元々は「予約ノートに書きこむ」という意味でbookという言葉が使われ始め、今に至る訳です。
make a reservation は、その場所や席を確保するという意味でホテルなら部屋や会議室、飛行機なら座席、レストランならテーブル、という風な時に使われます。
make an appointment は、特定の人(医者や講師など)との面談(面会)の予約を取り付ける場合に使い、日本語でも「アポを取る」という言葉は、ここから来ています。
ですので、今回の場合は3番目の予約(make an appointment)は不適切で、ダブルブッキングという言葉があるように、book でも make a reservationどちらでも大丈夫です。
それとa ticket ではなく「あなたのチケット」となりますので、your air ticket または your flight ticket となります。
2番目の go ahead and ...の意味は「先に~をしておくわ」という意味です。 1番にも使う事ができます。
例)
I'll go ahead and book your air/flight ticket....
(あなたの航空券を先に予約しておくわ....)
お役に立てば幸いです(^-^)/