VISAが下りる前に飛行機を予約しておきますって英語でなんて言うの？

Flight ticket;航空券
Buy your flight ticket; 航空券を買う

ビザが下りる、はgrantedも使われますしapprovedも使われます。

Your visa is successfully approved.
無事にビザがおりました！

とこういう場合、successfullyも一緒によく使われる副詞です。

ビザがおりるは、 be granted が使われます。
飛行機を予約する:book a flight (ticket)。

Make sure you submit all the documents.
ちゃんと全書類提出するようにね！

「飛行機の予約をする」というのは未来形で表現します。　ですので、will または be going to のいずれかです。
will の場合は、今決めた未来（ビザが下りるのが遅くなりそうなので、今やっとくわ！的な感じ）
be going to の場合は、前から決まっていた未来を今宣言をする未来（ビザが下りるのが遅くなるのはわかっているので、前もってやっとくわ！的な感じ）

次に「予約」という英語ですが book / make a reservation / make an appointment の3通りあります。
bookは最近日本語でも「ブッキングする」という言葉がありますように、元々は「予約ノートに書きこむ」という意味でbookという言葉が使われ始め、今に至る訳です。

make a reservation は、その場所や席を確保するという意味でホテルなら部屋や会議室、飛行機なら座席、レストランならテーブル、という風な時に使われます。

make an appointment は、特定の人（医者や講師など）との面談（面会）の予約を取り付ける場合に使い、日本語でも「アポを取る」という言葉は、ここから来ています。

ですので、今回の場合は3番目の予約（make an appointment）は不適切で、ダブルブッキングという言葉があるように、book でも make a reservationどちらでも大丈夫です。

それとa ticket ではなく「あなたのチケット」となりますので、your air ticket または your flight ticket となります。

2番目の go ahead and ...の意味は「先に～をしておくわ」という意味です。　1番にも使う事ができます。
例）
I'll go ahead and book your air/flight ticket....
（あなたの航空券を先に予約しておくわ....)

お役に立てば幸いです（＾－＾）／