これを担当部署に回して下さいって英語でなんて言うの？

「担当部署」は 英訳にすると「a department in charge」です。
「担当者」はちょっと違って、「a person in charge」になります。
電話の要件をまず伝えるとさらに相手にわかりやすいですね。
I saw the advertisement on/in ~ .
I am calling because I saw the classified ad on/in ~ .

●回答例1: connect me withはconnect me toでもOKです。
●もっと丁寧に言う場合には、Pleaseの代わりにCould you pleaseやMay I ask you to等が使用できます。
●「～の担当部署」の表現はthe section of ～。sectionの代わりにdepartmentやdivisionも使えます。

「これ」が何を指しているのか曖昧だったので、「私」としてみました。
担当者に電話を繋いでほしい時は、
"put me through to the person in charge"
というフレーズを使います。