Now that it's getting colder, I'm starting to get ready for winter.
As it gets colder, I'm starting to prepare for winter.
自然な英語にする為には「寒いから」の直訳より、
「寒くなるにつれて」＝ As it gets colder
「寒くなり始まったの今」＝ Now that it's getting colder
というような流れの方が良いだと思います。
「支度をする」は get ready (for) または prepare (for) になります。
starting to は「し始める」という意味します。
ご参考になれば幸いです。
I'm getting ready for winter because it's cold. 「寒いから冬支度をしている。」
具体的な例文として： It's getting cold, so I'm getting ready for winter. 「寒くなってきたので冬支度をしています。」
他の言い方として：
I'm preparing for the winter season because it's getting colder. 「寒くなってきたので冬の準備をしています。」
アメリカ合衆国 
