直営orフランチャイズでの運営って英語でなんて言うの？

「フランチャイズ加盟者」は「franchisee」（フランチャイジー）です。

直営店の場合は回答例1のthe corporate-owned chain(s)、
フランチャイズの場合でしたら、回答例2のthe franchised chain(s)になります。　
直営店またはフランチャイズの大元の名前を入れたい場合は、
例えば ABC という店の場合、
前者はthe ABC-owned chain(s)、
後者の場合はthe ABC franchised chain(s) となります。

役職が「営業」でしたら sales rep（sales representativeの略）になり、
直営店の営業は I'm a sales rep for the corporate-owned chain(s)、
フランチャイズでの営業は I'm a sales rep of the franchised chain(s) になります。

直営店での営業は「会社のために働いている」サラリーマンですので、
前置詞は for （～のために）になります。　
フランチャイズの場合は多くは個人投資によるものです。　
従いまして「所有する」という考えから前置詞は of （～の所有する）を使います。

ご質問にありました「自分の役職（regional manager）を伝える時」には前述の営業と同じ考えで、
I'm a regional manager for the corporate-owned chain(s) /
I'm a reginal manager of the franchised chain(s) になります。

chain（チェーン店）に s を付けて複数形にするかどうかは任されているチェーン店の数によりますので、必要に応じて複数形にして下さいね。

"Direct management"は「直営」の直訳です。
「フランチャイズでの運営」はただ "franchising"という表現が簡単でわかりやすいです。"Run as a franchise"も同じ意味です。