1. I came to dislike cold weather because I had lived in the Philippines until recently.
2. I eventually disliked cold weather because I had lived in the Philippines until recently.
1. ｢～するようになる｣でよく使われるのは、｢Come to do｣です。長い時間かけてそうなった、と言うニュアンスです。
例: He came to cook at home.(彼は家で料理するようになった)
｢～するようになる｣と言う意味で使われるのは、｢Become｣ですが、｢Become｣の後ろに動詞を持ってくることはできません。形容詞または名詞です。
例: He became healthy.(彼は健康になった)
My son became a policeman.(私の息子は警察官になった)
2．｢Eventually｣は｢結局、最終的に｣
｢ I eventually liked cold weather｣＝｢私は最終的に寒い気候が好きになった」
最終的にと言う意味が付くと、日本語の｢～になる｣と言うニュアンスが出ます。
｢Eventually｣と似ているのが｢Finally｣です。
｢Eventually｣は時間がある程度たって、～なるというニュアンス。
｢Finally｣は同様に時間がある程度たって～なる、ですが、A:努力を要してやっと、と言うニュアンスがあります。もう一つの使い方としては、B:何らかのステップの最後を示す時です。
A: I finally finished this assignment.(私はついにこの課題を終えた)
B: Finally sprinkle sugar for decoration of the cake.(最後に、ケーキの飾りとして砂糖を振りかけてください)
日本 
