校内放送や館内放送を流すって英語でなんて言うの？

「校内放送や館内放送」は”announcement"で大丈夫です。
また、「校内放送」なら、"school announcement"で、「朝の放送」なら"morning announcement"になります。

「館内放送」は"announcement in a department store"で大丈夫です。
そして、「放送を流す」は"make an announcement"となります。

ご参考になれば幸いです。

日本語でも聞いたことがあるかもしれませんが「アナウンス」と言います。

実際には、"announce"は動詞ですので、

校内アナウンスでしたら"school announcement"
デパートのアナウンスでしたら"announcement in a department store"
駅のアナウンスでしたら"station announcement"
他にも公共放送でしたら"public announcement"
のように言います。