write neatly = 丁寧に(文字を)書く
この場合、「[丁寧](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/38829/)」は、見た目のことを表しているので、neat (訳:綺麗な)と言う表現を使います。
politeも「丁寧」という意味で使いますが、マナーや態度が「丁寧」な時に使う言葉です。例えば、She has polite manners. (彼女は、[礼儀正しい](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/14633/)。)
「外国人が書いた漢字の方が丁寧に書くので、日本人のメモより読みやすい。」は、Non-Japanese people write kanjis neater than Japanese people, so their notes are easier to read. になります。
少しでもお役に立てれば幸いです。
ありがとうございました。