You don't even know me.
「私のこと知りもしないじゃない」
What do you know about me?
「私の何が分かるっていうの？」
You know nothing about me.
「私のことなんて何も知らないくせに」
喧嘩の場面でこのようなセリフがよく聞かれます。
ご参考になれば幸いです。
What makes you think you know anything about me?は、「何ぜあなたは、私のことを知ってるって思うんですか？」のような意味です。
これはいわゆる、レトリック・クエスチョン（反語的疑問）というもので、形は確かに疑問文ですが、相手の答えを求めていっているわけではなく、伝えたいことを強めるために使っているわけです。
What makes youは直訳すると、「何があなたを作ったか」という意味になりますが、使役動詞のmake＋人＋動詞の原型という仕組みを使うことで、「人に～させる」という意味になります。
You think I'm lying? What makes you think so?
私が嘘をついてると思う？なぜそう思える（考える）の？
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