Daddy is collecting the garbage from the garbage cans/bins around the house.
Daddy is gathering up all the garbage in the house.
「ゴミを集める」は、collect the garbage や gather (up) the garbage と言います。
「ゴミ箱」は、garbage can, garbage bin, trash can などと言います。
「家のゴミ箱から集めたゴミを、外のゴミ集積所に持っていく。」と言う場合は、
Then he's going to take it out.
と言うことができます。
ご参考になれば幸いです！
「ごみを集めてくれているよ」は英語で以下の文になります。
１）He's collecting the garbage.
２）He's gathering the garbage.
３）He's going to take out the garbage.
例１と例２は直接な翻訳です。でも例３はこの場合によく言われています。例えば、ゴミを出す日の前に私の家族に例３をいつも言っています。
ごみ= garbage/trash
集めてくれている= (doing a favor by) gathering/collecting
ゴミは英語で"trash"と言います。
集めるは英語に"gather"や"pick-up"に翻訳できます。
A:お父さん何しているの？
"Hey dad, what are you doing"
B:外のごみ集積所にもっていってくれます
"I'm gathering up the trash from around the house"
"I'm picking up trash from around the house"
日本 
アメリカ合衆国 
