Excuse me, may I have a basket to put my things in?
カゴですが、シンプルに”basket”で良いかと思います。
”May I〜?”の他にも"Could I〜?"、”Can I 〜?”としても伝わります!
Excuse me, may I have a basket to put my things in?
私のものを入れておく(ための)カゴをもらえますか?
thingsはほかにもbag/stuff/belongingsという言い方もできます!!