Reservationsは過去のことを話している時よく使われています。動詞 (Reserve) はよく将来のことについて言葉です。例えば、
I have reservations for John Smith.
ジョン・スミスで予約しています。
Let's reserve a room at Hotel Tropics.
ホテル・トロピクスで部屋を予約しましょう。
Under the name○○○ は予約した「者」です。予約の時、よく使われている表現です。
★ 訳
「バディ佐藤で予約しています」
★ 解説
この表現は予約をした本人でも別の人でも言うことができます。
予約は booking と言いますが、このように受動態で使うこともできます。
We are booked under (the name) Buddy Sato.
「バディ佐藤で予約をしています」
ご参考になりましたでしょうか。