ユーチューブの企画でって英語でなんて言うの？

「ユーチューブの企画で」＝ a YouTube project, something I'm filming for YouTube, a YouTube video

撮影の許可を得る際にこちらの聞き方を使えばよいと思います。

I'm making a video for YouTube. Am I allowed to film here?
Is it ok if I film a video for YouTube in your shop?
Do I have your permission to film a video for YouTube in your shop?

ボキャブラリー
企画　＝　project
making ＝　作っている
video ＝　動画
allow ＝　許す、許可を得る
film ＝　撮影する
permission ＝　許可

聞き方が２つほどあると思います。

１．Could I take a video for Youtube?＝ユーチューブの企画のために撮影してもいいですか？

もう一つは、Youtube という単語を「動詞」として使うパターンです。

２．Could I Youtube here?＝ここをユーチューブに載せてもいい?

日本語だとあまり聞き慣れないかもしれませんが、日本語で「ラインしてもいい？」と聞くのと同じ感覚です。

是非参考にしてみてください。

ご質問どうもありがとうございます。
様々な表現があると思いますが、いくつ自然な表現を紹介します。

1. Would it be okay to shoot a video inside your store for a YouTube project?

2. Would it be okay to shoot a video inside your store for a YouTube video?

--- to shoot a video は、to make a videoの類義語のいいかたとなります。
to shoot a videoは少しカジュアルな言い回しかもしれませんが。

ではお好みに合わせて使い分けてみてください。
ご参考にしていただければ幸いです。