基礎代謝あげるって英語でなんて言うの？

基礎代謝、新陳代謝はmetabolism(メタボリズム)です。

boost, increase, rev up, speed upは、増進させる、増加させる、などの表現になります。

I want to boost my metabolism by running.
ランニングで基礎代謝を上げたい。

頑張ってください☆

他のアンカーの方々も回答されていますが、新陳代謝metabolismです。　ですが、基礎代謝はbasal metabolic rate (BMR)と呼ばれます。　スポーツトレーニングとして、新陳代謝は代謝の流れ（代謝の入れ替わり）に対して、基礎代謝は静止している状態（安定を保っている状態）でどれくらいのエネルギーを消費するかですので、基本的に考え方が異なります。

１番目は、代謝の流れをアップさせたい場合に使います。
２番目は、基礎代謝を上げたい場合に使います。

動詞は、他のアンカーの方々も回答されている boost でも increaseでも構いません。(one's)の所は所有格が入りますので、ご自身の事であれば my が入ります。

I haven't done any exercise lately. I'm thinking to go running (or something) to speed up/raise/boost/increase my basal metabolic rate.

が、「運動不足なので、ランニング（か何か）をして基礎代謝をあげたいと思います」という表現になるかと思います。

参考になれば幸いです☆

「基礎代謝」（安静にした状態で1日に消費するカロリー）は basal metabolism といいますが、ご質問の内容ですと、metabolism だけでもよいと思います。
「～をして／～をするによって」はby ～ing とthrough ～ing/名詞のふたつの言い方があります。running の部分は walking （ウォーキング）や exercise/exercising （運動）に置き換えることもできます。
ちなみに「運動不足」は lack of exercise になります。

「基礎代謝 」= 「metabolism」
ランニングなどの有酸素運動は、「cardio (excersise)」と言います。

All forms of cardio, such as walking or running, boost your metabolism!