「ものを束ねる」は to tie up (s.t.)
他動詞なので目的語(何を束ねるのか)も言わなければならないです。句動詞という動詞であるから up は目的語の後に(例のように)置いてもいいし、tie up the diapers も言えます。
「輪ゴムで束ねる」は to tie up with a rubber band, "with" は 〇〇で作る・するの表現に使う前置詞です。一個のゴムなので、 a rubber band にしました。
「きつく」は副詞なので、動詞とその必要な目的語のあとに付けます。今回の説明のような "tie the diapers up" の命令形には tightly を up の後に付けます。
それで Tie the diapers up tightly with a rubber band は「輪ゴムでオムツをきつく束ねてください」という説明の表現です。