例文である"My school has a unique ~ club!"は、直訳すると「私の学校にはユニークな~部があります!」となります。特に日本特有の部活(例:書道部、茶道部など)を紹介する際には、これで十分伝わるでしょう。ただし、「~」の部分には当然ながら、その部活を英語で表現する必要があります。
また、部活の特性や活動内容を詳しく説明する際には、"The ~ club at my school is unique because..."(私の学校の~部は、・・・という理由からユニークです)という表現も有用です。
スクリプトのボリュームが必要な場合には、「unique」の代わりに「distinctive」(特徴的な)、「unconventional」(型にはまらない)、「extraordinary」(並外れた)など他の形容詞も試してみてください。それらはすべて「一風変わった」または「珍しい」を意味しますが、ニュアンスが微妙に異なります。部活の特性によっては、これらの形容詞がより適切な表現になるかもしれません。