「Buddy」というのは、基本的にとても仲のいい友達や、親友などの場合に使います。
「I've known him for 13 years, he's really my buddy」
「もう知り合って13年たったので、彼は本当に僕の親友です。」
という使い方です。
「Mate」も同じ意味ですが、これはイギリススラングです。
「My mate is coming round for dinner」
「僕の友達は夕食を食べに来ます。」
イギリスやオーストラリアのスラングなので、アメリカ英語を習った人にたまに通じない時もあると思うけど、基本的にはみんなわかると思います。
「Bro」は単純に「Brother」を略した言葉で、「兄弟みたいに仲がいい」というニュアンスで、「Hey, long time no see bro!」、「久しぶりブロー!」という場合に使います。
いずれも比較的カジュアルな印象がある英語表現です。
「バディ」は英語でそのまま「buddy」と言います。
親しい友人やペットの名前の代わりに使うことが多いですが逆に名前がまだ知らない人に話しかける時に使う人もいます。この場合は若干上から目線に感じるから気を付けましょう。
Hey buddy, how's it going?
よー相棒!元気?
Hey buddy, is this seat taken?
ねー君、この席空いてる?
Hey buddy, it's been a long time! I missed you!
友人よ、久しぶり!会いたかったぜ!
ぜひご参考にしてみてください。