連携して進めていくって英語でなんて言うの？

1. proceed with the project プロジェクトを進める
   　by collaborating with each other お互い協力することによって

　We will で始める文章なので「一緒にやっていきます」というポリシーを表明しています。

2．in cooperation 協力して
　　by exchanging status reports 状況報告をしあうことによって
　Let us = Let's しましょうね。という呼びかけ。１、に比べると相互間の対等感が強く
　率直にプロジェクトの進め方を提案しています。

contactは「接触」ですが人の間の「連絡・連携」も表します。
keep contactは日本語でも言いますね。「連絡をとりつづける」ことです。

Let's proceed with the project in close contact with each other.
We'll keep contact in proceeding with the project.

こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：

cooperate to proceed with the project
連携することでプロジェクトを進めていく

cooperate は「連携する」「協力する」という意味の英語表現です。
proceed は「進める」となります。

ぜひ参考にしてください。