ここに使用済みのコップを置かないで下さいって英語でなんて言うの？

使用済みのコップは「Used cups」と言います。 したがって、表紙には「Please don't leave used cups here」と書くことがいいかと思います。

この場合、次のように記載することができます。 ーPlease do not leave dirty glasses here. 「使用済みのコップはここに置かないでください」 dirty glasses で「使用済みのコップ」 ーPlease put your dirty glasses in the sink. 「使用済みのコップはシンクに入れてください」 このように、使用済みコップの置き場所を記載することもできます。 ご参考まで！