ご質問ありがとうございます。
walk in placeが自然な言い方です。march in placeは軍隊の活動です。そして、選手や準備体操でrun in placeをよくしています。
例文：I ran in place for 5 minutes to warm up.（to warm upは「温めるため」です。）
(ネイティブな人はwalk on the spotを使わないんです。）
ご参考になれば幸いです。
Stompは確かに音を立てるイメージがありますので、ただその場で歩く（その場行進のように）ということを表すのであれば、
Walk on the spotがよいと思います。
on the spotは、その場で、という意味です。その場で歩くということですね。
また行進のように歩くことをMarchと言いますので、
March in placeでもよいかと思います。
in placeは、所定の場所、決まった位置で
という意味です。
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