日本語のファスナーは、zipper と言います。
英語にも fastener という単語はありますが、英語のfastener は「留め具」という金具のことで使うことが多いです。
fasten には「しっかり締める」という意味もあり、Fasten your seatbelt. で「シートベルトを締めて。」と言ったりもします。
アメリカやカナダでは、「ファスナー」は zipper、「ファスナーを締める」は zip up と言うのが一般的です。
It's cold outside. You should zip up your coat.
「外は寒いから、コートのジッパーを締めた方がいいよ。」
The zipper on my pants is broken.
「ズボンのジッパーが壊れた。」
ちなみに日本語の「チャック」は和製英語です。
ご参考になれば幸いです!